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forget about 「～について諦める」for-はforbid(禁止する)に見られるように「禁止」とか、forsake(見捨てる)などのように「諦める」とか「無視する」いった否定的な意味合いを持つ接頭辞です。それに「手に入れる」という意味のgetがついたものがforgetですから、「手放す」というのが原義と捉えてよさそうです。たとえば、記憶を「手放す」ことが「忘れる」といった具合に。そこからさらに「諦める」といった意味にも発展したのでしょう。さて、forget about はforgetの口語的表現なのだそうです。とりあえずForget about it（「もういいよ」「気にしないで」といった感じ）の方が口語的で、会話で普通使われると考えればいいようです。Forget it.というのもよく耳にしますが、かなり直截的な言い方だそうです。forget it = just ignore itのニュアンスになるようですから注意しなければならないこともあるでしょう。会話では相手がいるわけですから、直截的な言い方は好まれないのでしょう。ともあれ、後になって、時間を置いて、よく考えてというニュアンスがaboutにあるような気がします。Please forget meだと直截的に「わたしを無視して。私を忘れて」といった感じでしょう。Please forget about me.だと「私のことは忘れてください」とちょっと距離をおいた感じでしょうか。They had to forget about taking a loan. (彼らは借り入れを諦めなければならなかった)　Looking to rent some office space in Tokyo? Forget about looking here. (東京でオフィススペースを借りたいとお考えですか。でしたら、ここで探すのは諦めましょう)