keep abreast with [of]~ 「~に遅れずについていく」 abreastは「横に並んで」という副詞。a+breastですから、ひょっとすると胸を並べて歩くといった意味から「横に並んで」となったのかもしれません。前置詞withはcatch up withkeep up withのwithと捉えればいいでしょう。なお英英にはto follow the developments of something or some situation.とありましたから、まわりの発達した状況についていくニュアンスが強いようです。この成句を構造面からカテゴライズすれば、動詞+副詞+前置詞のコンビネーションになります。Doctors should keep abreast with [of] all the latest developments in medicine. (医者たる者は最新の医学の発達についていくべきだ)(成蹊大)As a news correspondent for the region, it's my job to keep abreast of any changes in the political landscape here.(新しく派遣された特派員としいてここでの政治状況のいかなる変化にも遅れずについていくのが私の仕事だ)(Free Dictionary) keep up with~よりもフォーマルな表現だとうことでしたので、あまり普段は使われないのかもしれません。実際わたくしごときも稀にしかお目にかかったことがありません。それだけに使ってみたいですね。cf. He walked so fast that I can't keep up with him. (彼は歩くのがとても速いので私はついていけない)