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loose ends 「未処理事項」ロープの端を切ってそのままにしておくと、切断部分がほどけてばらばらになります。この成句は、そのような状態から生まれた表現だそうです。Cambridgeにはthings that still need to be done or explainedとあります。(to be) explainedとありますから、まだ解決されていない事柄といったニュアンスでしょう。「ばらばらになっている」→「しっかりしばっていない」→「未処理のままだ」「未解決のままだ」という風に発展していったのでしょう。なお、先端がほどけてばらばらになっているのでendsと複数形になります。I don’t like loose ends. (中途半端なのは嫌いだ) You don’t want any loose ends. (やり残しはしたくないだろう) There are some loose ends around here. (ここでやり残した仕事があるんだ) tie up loose endsというと「未処理のことを片づける」といった意味になります。tie(縛る)が使われているのは、やはりロープをイメージするからでしょう。I need to tie up some loose ends. (やりかけの仕事を終わらせなきゃ)　 I tied up all the loose ends before we left. (全て仕上げてから出掛けました)(英辞郎)