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on condition (that) S+V...  「...という条件で」これだけをすればという条件をはっきり指定する場合に用いられます。前置詞onは「条件」を示すことがあります。たとえば、We bought a PC on credit（クレジットカードでＰＣを買った）といった場合のonなどがそうです。この文の場合、キャッシュではなくクレジットカードという条件付きで買ったということですから。　You can go home on condition that you solve all these problems. (この問題をすべて解いたら帰っていいですよ)  I will lend you the money on condition that you pay it back in a month. (一か月後に返済するという条件で金を貸そう)(レクシス) 老婆心ながら前置詞inに注意してください。afterにしないことです。I gave out some information on the notorious weekly magazine on condition that my name would not be used.(私の名を表に出さないという前提で、私は評判の悪い週刊誌に情報を提供した)　wouldは時制の一致とも考えられますが、仮定法で捉えてもいいのかなとも思います。